top of page
Start

Obične diferencijalne jednačine 1. reda i matematički modeli koji se konstruišu pomoću njih

Šta je diferencijalna jednačina, a šta obična diferencijalna jednačina?
 

Po definiciji, diferencijalna jednačina je jednačina koja predstavlja vezu između nezavisne promenljive (x), zavisne promenljive (y), i izvoda ove zavisne promenljive. Zavisna promenljiva y je predstavljana kao funkcija izražena preko nezavisne promeljive x, tj. y=f(x) ili y(x). U primeni, zavisna promenljiva obično predstavlja fizičku veličinu, izvodi predstavljaju brzinu promene, a diferencijalna jednačina definiše odnos između zavisne promenljive i njenih izvoda.

Obična diferencijalna jednačina (ODJ) je diferencijalna jednačina koju čine jedna nezavisna promenljiva x kao i jedna funkcija te nezavisne promenjive y(x), zajedno sa njenim izvodima, y'(x), y''(x), ... , y  (x).

Red diferencijalne jednačine definišemo kao najviši izvod u toj jednačini. Primer diferencijalne jednačine 1. reda je y'=2x, a primer diferencijalne jednačine 2. reda je y''+xy-1=0.

Kako obične diferencijalne jednačine najčešće opisuju jednodimenzionalne sisteme, njihova primena se može pronaći u opisivanju modela rasta populacije, modela provođenja toplote, modela raspada radioaktivnog materijala pa i modela širenja virusa.

Proučavanje diferencijalnih jednačina se uglavnom sastoji iz razmatranja njihovih rešenja, što predstavlja skup funkcija koje zadovoljavaju svaku jednačinu, kao i svojstva njihovih rešenja.

U kasnijem delu teksta ćemo videti kako se preko običnih diferencijalnih jednačina može modelirati eksponencijalni rast populacije kao i kriva prenošenja COVID-19 virusa. Iz svakodnevnog života smo videli da nam je drugi pomenuti model bio od izuzetnog značaja u protekle dve godine.

 

Pre nego što počnete da gledate video snimke koji se nalaze u delu ispod, preporučujem da pročitate tekst postavljen u prilogu kako biste bolje razumeli sadržaj snimaka:

(n)

Primeri modela prikazanih preko ODJ 1. reda
 

Model eksponencijalnog rasta populacije
 

Sada, kada smo se upoznali sa svim pojmovima i osobinama ODJ 1. reda potrebnih za razumevanje konstrukcije modela, možemo da modeliramo eksponencijalni rast neke populacije!

U narednom video snimku možete videti kako se ovaj model konstruiše u programu GeoGebra:

Sledeća slika pokazuje kako se menja broj jedinki u populaciji prilikom eksponencijalnog rasta, u zavisnosti od stope rasta populacije tj. parametra k:

Model eksponencijalnog rasta populacije

Ispod je postavljen model eksponencijalnog rasta populacije napravljem u programu GeoGebra, u kome sami možete da menjate parametre (radi boljeg prikaza predlažem da aplikaciju koristite u Fullscreen-u, kao i da sami, koristeći kursor, pomerite poziciju slajdera i teksta po želji):

Vidimo da ovaj model ne odgovara u potpunosti realnosti jer pretpostavlja da broj jedinki u populaciji eksponencijalno raste bez ikakvog ograničenja. U stvarnom svetu se dešava da dokle god ima dovoljno hrane, populacija se uvećava, a kasnije, kako se broj jedinki u populaciji povećava, dolazi do borbe oko resursa te populacija sama sebe ograničava u daljem rastu.

Popravljeni model se naziva Logistički model rasta populacije i bolji je od prethodnog jer uzima u obzir rađanja i umiranja jedinki populacije. On se rešava analogno prethodnom stoga se njegovo rešenje i grafički prikaz ostavljaju čitaocu kao vežba radi savladavanja do sada pređenog!

Model širenja virusa COVID-19
 

Model koji ćemo konstruisati za opisivanje širenja virusa COVID-19 se skraćeno naziva SIR model (eng. SIR: S-susceptible, I-infected, R-removed). Ovo je jedan od najjednostavnih modela koji se koristi u epidemologiji za analizu širenja virusa, ali je njegova upotreba česta jer pruža dobru početnu procenu kako će se posmatrani virus širiti, na osnovu čega možemo da odredimo koje mere treba da preduzmemo kako bi se njegovo širenje usporilo ili zaustavilo.

U narednom video snimku možete videti kako se ovaj model konstruiše u programu GeoGebra:

Sledeća slika pokazuje kako se, delovanjem nekog virusa, broj podložnih, zaraženih i uklonjenih jedinki populacije menja kroz vreme:

SIR model

Ispod je postavljen SIR model napravljen u programu GeoGebra, u kome sami možete da menjate parametre (radi boljeg prikaza predlažem da aplikaciju koristite u Fullscreen-u, kao i da sami, koristeći kursor, pomerite poziciju slajdera i teksta po želji):

SIR model je upravo zbog svoje jednostavnosti lako shvatljiv, a opet pruža dobre procene pirlikom modeliranja širenja raznih virusa, pa i virusa COVID-19!

Dodatni materijal
 

Pored primera koji su u tekstu zadati čitaocu za vežbu kako bi savladao pročitano, ostavljeni su i još neki zanimljivi izvori pomoću kojih se dodatno možete informisati o temi ODJ 1. reda kao i o konstrukciji raznih modela koji preko diferencijalnih jednačina opisuju dešavanja u prirodi:

Detaljnije proučavanje ODJ

Logistički model rasta populacije

Opšte matematičko modeliranje epidemija

Detaljniji opis SIR modela

Analitičko rešenje diferencijalnih jednačina iz SIR modela

Model Lovac-Žrtva (Predator-Prey model)

bottom of page